Написал заметку о том, как пересчитать рациональные числа. Любителям математики моё почтение, остальным соболезную Как досчитать до бесконечности, если ты не Чак Норрис.
В эфире микрорубрика с макросодержанием «Каких чисел больше на отрезке от нуля до единицы — рациональных или иррациональных»
Осторожно, в заметке упоминаются еврейский заговор, инстакоучи и простой советский натуральный…
(на деле речь пройдёт про скучную основу математики — теорию множеств. И про мощность множества, как меру бесконечности)
Множество — это воображаемая совокупность разных элементов.
С конечными множествами всё понятно. Собери кучку предметов, пересчитай, вот тебе множество. 10 камешков на песке или 10 апельсинов на столе — суть предметов не важна. Главное, чтобы вы могли сказать: это элементы множества (нужен критерий принадлежности). И важно придумать способ, как отличать элементы друг от друга (например, по номерам).
Готово, мы сформировали понятие множества. Теперь придумаем для них операции — вроде объединения и пересечения. И зададим понятие отображения из одного множества в другое. Например, если у вас одно множество из 10 апельсинов, а другое множество — числа от 1 до 10, то достаточно расположить числа и апельсины попарно. Совокупность таких пар и будет отображением.
Хорошее отображение — это когда вы построили взаимно-однозначное соответствие (биекцию). Если никакой апельсин не забыли и не пересчитали дважды, тогда у нас биекция, пацаны, и два этих множества считаем эквивалентными.
Ещё из примеров отображений — любая школьная функция вида y = f(x) — это отображение одной числовой оси в другую. Помните, рисовали график параболы по точкам? Вот это оно и есть, точка на плоскости это пара из аргумента и соответствующего ему значения.
То есть функция — это опять таки множество, только состоящее из пар элементов.
Теорию множеств придумал в 19 веке немецкий математик Георг Кантор (уроженец Питера). И оказалось, что на языке этой теории удобно записать вообще всю математику. Потом правда выяснилось, что в исходном «наивном» варианте теории возникают парадоксы, пришлось добавить более строгих аксиом. Можно сказать, что это открытие принесло такие же удобства математикам, как периодическая таблица элементов химикам.
Но вернёмся к нашим простым множествам из камешков на песке. Сделаем бесконечное множество. Начнём выкладывать и нумеровать камешки бесконечно, до горизонта и дальше.
Физически столько камней нет, так что представим бесконечную прямую, уходящую вправо. А на ней точками проставим порядковые номера камней — до бесконечности. Какой бы вы мне номер n ни назвали, я скажу, что правее ещё лежит номер n+1.
С одной стороны, это простой советский бесконечный ряд натуральных чисел. С другой стороны, такая простая бесконечность непостижима уму. Всё во вселенной конечно. Миллиарды галактик и звёзд, неисчислимое множество кварков, фотоны летают туда-сюда — это можно пересчитать каким-то большим числом, у которого наверняка нет названия.
И это большое число сосёт у простого множества натуральных чисел.
Да что там физические объекты Вселенной. Возьмите информационную часть. Прибавьте сюда совокупность всех мыслей, произнесённых слов, записанных байтов информации, комментариев к постам — всё это также будет конечно.
Точно мы посчитать не можем, но у всего этого добра есть какой-то порог сверху, просто какое-то большое число. Отнимаем его от ряда натуральных чисел, начинаем отчёт с единицы — и справа у нас будет бесконечный хвост, такой же огромный, как был до этого.
Так мы ненароком открыли, что если у бесконечности отнять конечное множество, она останется такой же бесконечностью, от неё не убудет. Хотя по закону Евклида, целое всегда больше, чем своя собственная часть. Просто у древних греков бесконечного количества камешков не было.
Прибавлять к натуральному ряду конечное множество тоже можно сколько угодно, бесконечность от этого не распухнет. Знаете, я уже сам своего рода учёный, можно теперь что-нибудь поинтереснее?
Что будет, если к бесконечности прибавить другую бесконечность? А вот тут уже возможны нюансы.
Для иллюстрации приведу репортаж из газеты «Вымышленные новости из параллельной вселенной».
«…В городе работает необычный отель. В нём бесконечное количество номеров.
На конгресс политологов и инфекционистов прибыло бесконечное число школьников. Всех их заселили в отель, всем хватило, каждый номер оказался занят одним школьником.
Но тут прибыл ещё один участник конгресса, военный эксперт с первого канала. Куда его поселить? Все номера заняты, в какой ни постучи, даже с миллиардным номером.
Администратор отеля нашёл выход.
Он постучался в первый номер и попросил школьника переселиться в соседний (с номером 2). Во втором номере — в соседний с номером 3. Третьего — в четвёртый. И так далее, бесконечное число раз. Хвост сдвинулся вправо. Военный эксперт заселился в освободившийся первый номер, а все остальная школота также не осталась без жилья.
Когда на конгресс прибыл ещё миллион школьников, все номера были заняты. Но вы уже знаете ответ — администратор переселил постояльца из первого номера в миллион-первый, второго — в миллион-второй и т.д. Сдвинули хвост вправо на нужное число — освободили нужное количество номеров. Да что я вам рассказываю, читатели-москвичи в курсе, как это работает.
Но тут на проходящий в том же городе конгресс блогеров прибыл рейс из Дубая с бесконечным числом инстакоучей. Куда их селить? На какое бы конечное число мы не сдвинули хвост, поселить можно только часть блогеров.
Администратор на время ушёл в себя, сделал запрос ко Вселенной и скоро нашёл ответ.
Школьника из первого номера он попросил переселиться во второй номер. Из второго — в четвёртый. Из третьего — в шестой. Из n-ного — в номер 2n. В результате все переехали, никто не остался без номера, но при этом в отеле освободились все нечётные номера. Туда и заселилась бесконечная толпа инстакоучей…»
Обдумывая такие сюжеты с бесконечными отелями, Георг Кантор ввёл понятие мощности множества. Если множество конечное — его мощность равна количеству элементов. А вот если оно бесконечно, нужно посмотреть, эквивалентно ли это множество натуральному ряду. То есть, можно ли построить биекцию с натуральными числами (пересчитать). И если да, то назовём такое множество счётным.
Как обозначить новое понятие мощности? Все латинские и греческие буквы были к тому времени заняты, поэтому мощность множества Кантор обозначил первой буквой еврейского алфавита: ℵ («алеф»). Вопрос — почему еврейского? Ну что ему стоило выбрать русскую букву? Например, Щ? И была бы в математике не «иерархия алефов», а иерархия Щей.
У счётного множества мощность обозначается как ℵ0 («алеф-ноль»). Если к счётному множеству прибавить конечное множество — мощность не изменилась. Отнять бесконечную половину (см. пример с нечётными номерами в отеле) — тоже не поменялась.
Повлиять на мощность может слияние с чем-то более серьёзным. Каким-то более мощным бесконечным множеством. Только есть ли оно?
Что если взять рациональные числа (дроби)? Их тоже бесконечно много, причём в ещё более пугающем ключе для простого человека.
С натуральными числами было ещё терпимо. Хвост уходит бесконечно вправо, зато между соседними камнями пусто.
А теперь бесконечность уходит не только вправо, но и вглубь, на каждом взятом сантиметре.
Какие два соседних рациональных числа не возьми, между ними будут ещё. Это в физическом мире вы не можете делить отрезок бесконечно — упрётесь в планковскую длину.
В математике можете делить сколько угодно. И в результате на маленьком отрезке от 0 до 1 у вас бесконечное число точек.
И вот вопрос: чья мощность будет больше — натуральные числа (бесконечный ряд, но дискретный) или рациональные числа (тоже бескрайняя прямая, но при этом ещё и точки понатыканы бесконечно плотно)?
Ответ неочевиден, но мощность у них будет одинакова. Все рациональные числа можно пересчитать. Достаточно предъявить алгоритм такого пересчёта и доказать, что получится биекция.
Алгоритм такой: нарисуем табличку с бесконечным числом столбцов и строк. В ячейки впишем дроби m/n, где m это номер столбца, а n — номер строки. Чтобы учесть отрицательные числа, можно например дублировать каждый столбец таким же, но с отрицательным номером, или продолжить таблицу бесконечно влево. Конечно, дроби в таблице будут повторяться. Но мы получили главное — любое рациональное число лежит где-то там, в этой таблице.
А теперь пересчитаем ячейки, начиная с угла и обходя по диагонали (см. картинку). Или начиная с центра и по спирали. Повторяющиеся значения можно пропускать. Какое рациональное число ни возьми — его можно найти в таблице, а значит и присвоенный ему порядковый номер. Поздравляю, вы построили биекцию. У множества рациональных чисел оказалась та же мощность — алеф-ноль.
А что если взять иррациональные числа? Ну там редкие и чудесные диковины, вроде числа π, е, или корня из двух? Они тоже есть в виде точек на числовой прямой. Что если их добавить к рациональным? Какая получится мощность?
Вроде, ничего не изменится, ведь иррациональных чисел не так много?
Кажется даже, что все иррациональные числа описаны в википедии, как диковины.
Доказательством мучать не буду, но фишка в том, что иррациональные числа нельзя пересчитать. Их не просто бесконечное количество. Их настолько дофига, что мы получаем новый уровень бесконечности — континуум. Счётные множества просто дети по сравнению с континуальными. На одном отрезке 0, 1 живёт бесконечно много как вёрджин рациональных чисел, так и гига-чад иррациональных. Это как с тёмной материей, которую мы не видим, но которая по слухам занимает большую часть Вселенной.
Так что, мы нашли следующую ступеньку бесконечности? Судя по всему, так и есть, по крайней мере в выбранной аксиоматике. Мощность алеф-один это континуум.
А дальше, есть ли множества более мощные, чем континуум? С мощностью алеф-два, алеф-три и т.д.?
Есть, но немножко дикие. Написать заметку про них предоставляю право постоянным авторам кэт-сайенс. Как тебе такая задача, Александръ Грибоедовъ?
На этом всё, берегите себя и старайтесь всегда селиться в отель если не с континуальным, то хотя бы со счётным количеством номеров.
#Авторский_челлендж@cat0science
#Деточкин@cat0science
#математика@cat0science
